Hướng dẫn, biện pháp giải phương trình nghiệm nguyên qua một số ví dụ.

Bạn đang xem: Phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên

Phương pháp: chẵn lẻ, phân tích, rất hạn, các loại trừ, phân tách hết, lùi vô hạn,bất đẳng thức.

Tùy từng bài bác tập mà những em vận dụng một tốt nhiều cách thức để giải việc phương trình nghiệm nguyên.

I. Phương thức 1 : sử dụng tính chẵn lẻ

Ví dụ 1: search x, y nhân tố thoả mãn

y2 – 2x2 = 1

Hướng dẫn:

Ta bao gồm y2 – 2x2 = 1 ⇒ y2 = 2x2 +1 ⇒ y là số lẻ

Đặt y = 2k + 1 (với k nguyên).Ta gồm (2k + 1)2 = 2x2 + 1

⇔ x2 = 2 k2 + 2k ⇒ x chẵn , nhưng x nguyên tố ⇒ x = 2, y = 3

Ví dụ 2: tìm nghiệm nguyên dương của phương trình

(2x + 5y + 1)(2|x| + y + x2  + x) = 105

 Hướng dẫn:

Ta có: (2x + 5y + 1)(2|x| + y + x2  + x) = 105

Ta thấy 105 lẻ ⇒ 2x + 5y + 1 lẻ ⇒ 5y chẵn ⇒ y chẵn

2|x| + y + x2  + x = 2|x| + y + x(x+ 1) lẻ

có x(x+ 1) chẵn, y chẵn ⇒ 2|x|  lẻ ⇒ 2|x| = 1 ⇒ x = 0

Thay x = 0 vào phương trình ta được

(5y + 1) ( y + 1) = 105 ⇔ 5y2 + 6y – 104 = 0

⇒ y = 4 hoặc y = $ displaystyle -frac265$ ( loại)

Thử lại ta gồm x = 0; y = 4 là nghiệm của phương trình

II.

Xem thêm: Scaricare Ai Là Triệu Phú Zalo, Ai Là Triệu Phú Zalo

Phương thức 2 : phương pháp phân tích

Thực chất là đổi khác phương trình về dạng:

g1 (x1, x2,…., xn­) h (x1, x2,…., xn­) = a

Ví dụ 3: tìm kiếm nghiệm nguyên của phương trình

x4 + 4x3+ 6x2+ 4x = y2

Hướng dẫn: Ta có: x4 + 4x3+ 6x2+ 4x = y2 ⇔ x4 +4x3+6x2+4x +1- y2=1

⇔ (x+1)4 – y2 = 1 ⇔ <(x+1)2 –y> <(x+1)2+y>= 1

⇔ $ displaystyle left{ eginarrayl(x+1)_^2-y=1\(x+1)_^2+y=1endarray ight.$ hoặc $ displaystyle left{ eginarrayl(x+1)_^2-y=-1\(x+1)_^2+y=-1endarray ight.$

$ displaystyle left< eginarrayl1+y=1-y\-1+y=-1-yendarray ight.$

⇒ y = 0 ⇒ (x+1)2 = 1 ⇔ x+1 = ±1 ⇒ x = 0 hoặc x = -2

Vậy ( x, y ) = ( 0, 0 ); ( – 2, 0 )

III. Cách thức 3 : cách thức cực hạn

Sử dụng so với 1 số bài toán vai trò của các ẩn bình đẳng như nhau:

Ví dụ 4: tra cứu nghiệm nguyên dương của phương trình:

5 ( x + y + z + t ) + 10 = 2 xyzt

hướng dẫn:

Ta đưa sử x ≥ y ≥ z ≥ t ≥ 1

Ta có: 5 ( x + y + z + t ) + 10 = 2 xyzt

⇒ (x- n) (x+ n) = 4 ⇒ x – n = x + n = ± 2 ⇒ x = ± 2

Vậy phương trình tất cả nghiệm nguyên

(x, y) = (2; -5); (-2, 3)

Ví dụ 15: kiếm tìm nghiệm nguyên của phương trình

x2 – (y+5)x + 5y + 2 = 0

Hướng dẫn:

Ta gồm x2 – (y+5)x + 5y + 2 = 0 coi y là thông số ta tất cả phương trình bậc 2 ẩn x. đưa sử phương trình bậc 2 có 2 nghiệm x1, x2

Ta có: $ displaystyle left{ eginarraylx_1+x_2=y+5\x_1x_2=5y+2endarray ight.$

⇒ $ displaystyle left{ eginarrayl5x_1+5x_2=5y+25\x_1x_2=5y+2endarray ight.$

⇒ 5 x1 + 5x2 – x1x2 = 23

⇔ (x1 -5) (x2 -5) = 2 cơ mà 2 = 1.2 = (-1)(-2)

⇒ x1 + x2 = 13 hoặc x1 + x2 = 7 ⇒ y = 8 hoặc y = 2

thay vào phương trình ta tìm được các cặp số

(x,y ) = (7, 8); (6, 8); (4, 2); (3, 2); là nghiệm của phương trình

X. Phương pháp 10 : sử dụng bất đẳng thức

Ví dụ 16: kiếm tìm nghiệm nguyên của phương trình

x2 –xy + y2 = 3

hướng dẫn:

Ta bao gồm x2 –xy + y2 = 3 ⇔ (x- $ displaystyle fracy2$)2 = 3 – $ displaystyle frac3y_^24$

Ta thấy (x- $ displaystyle fracy2$)2 = 3 – $ displaystyle frac3y_^24$ ≥ 0