2-Một số phương thức và bài bác toán liên quan đến phương trình bậc hai sử dụng công thức nghiệm sẽ cho học sinh học sau.
3-Rèn tài năng và pp minh chứng bất đẳng thức.
B- NỘI DUNG
PHẦN 1 : CÁC KIẾN THỨC CẦN LƯU Ý
1- Định nghĩa
2- Tính chất
3-Một số hằng bất đẳng thức hay dùng
Bạn đang xem: Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức
Xem thêm: Giáo Án Câu Cá Mùa Thu - Giáo Án Bài Câu Cá Mùa Thu (Thu Điếu)
Bạn đang xem trăng tròn trang mẫu của tư liệu "Chuyên đề: Bất đẳng thức", để cài tài liệu nơi bắt đầu về máy chúng ta click vào nút DOWNLOAD sống trênChuyên đề: Bất đẳng thứca.mục tiêu:1-Học sinh nắm rõ một số cách thức chứng minh bất đẳng thức.2-Một số cách thức và bài toán liên quan đến phương trình bậc hai áp dụng công thức nghiệm đang cho học sinh học sau.3-Rèn kĩ năng và pp chứng tỏ bất đẳng thức.B- ngôn từ Phần 1 : các kiến thức cần xem xét 1- Định nghĩa 2- đặc điểm 3-Một số hằng bất đẳng thức hay sử dụng Phần 2:một số phương phápchứng minh bấtđẳng thức 1-Phương pháp sử dụng định nghĩa 2- phương thức dùng biến hóa tương đương 3- phương pháp dùng bất đẳng thức không còn xa lạ 4- phương thức sử dụng đặc điểm bắc cầu 5- phương thức dùng đặc điểm tỉ số 6- cách thức làm trội 7- phương pháp dùng bất đẳng thức trong tam giác 8- cách thức đổi thay đổi số 9- phương thức dùng tam thức bậc nhì 10- cách thức quy nạp 11- phương thức phản triệu chứng Phần 3 :các bài xích tập nâng cấp PHầN 4 : vận dụng của bất đẳng thức 1- dùng bất đẳng thức nhằm tìm cực trị 2-Dùng bất đẳng thức nhằm giải phương trình với bất phương trình 3-Dùng bất đẳng thức giải phương trình nghiệm nguyênPhần I : những kiến thức đề xuất lưu ý1-Đinhnghĩa2-tính hóa học + A>B + A>B cùng B >C + A>B A+C >B + C + A>B cùng C > D A+C > B + D + A>B với C > 0 A.C > B.C + A>B với C B > 0 A > B + A > B A > B với n lẻ + > A > B cùng với n chẵn + m > n > 0 và A > 1 A >A + m > n > 0 cùng 0 0) + ( vết = xảy ra khi A.B B Ta minh chứng A –B > 0 để ý dùng hằng bất đẳng thức M 0 với" M ví dụ 1 " x, y, z chứng tỏ rằng : a) x + y + z xy+ yz + zx b) x + y + z 2xy – 2xz + 2yz c) x + y + z+3 2 (x + y + z) Giải: a) Ta xét hiệu x + y + z- xy – yz - zx =.2 .( x + y + z- xy – yz – zx) =đúng với mọi x;y;z bởi (x-y)2 0 với"x ; y dấu bằng xảy ra khi x=y (x-z)2 0 với"x ; z dấu bằng xẩy ra khi x=z (y-z)2 0 với" z; y lốt bằng xẩy ra khi z=y Vậy x + y + z xy+ yz + zx vệt bằng xẩy ra khi x = y =z b)Ta xét hiệu x + y + z- ( 2xy – 2xz +2yz ) = x + y + z- 2xy +2xz –2yz =( x – y + z) đúng với mọi x;y;z Vậy x + y + z 2xy – 2xz + 2yz đúng với mọi x;y;z lốt bằng xảy ra khi x+y=z c) Ta xét hiệu x + y + z+3 – 2( x+ y +z ) = x- 2x + 1 + y -2y +1 + z-2z +1 = (x-1)+ (y-1) +(z-1) 0 Dấu(=)xảy ra khi x=y=z=1Ví dụ 2: minh chứng rằng :a) ;b) c) Hãy tổng quát bài toángiảia) Ta xét hiệu = = = Vậy vết bằng xảy ra khi a=bb)Ta xét hiệu = VậyDấu bằng xẩy ra khi a = b =cc)Tổng quátTóm lại các bước để minh chứng AB theo định nghĩa bước 1: Ta xét hiệu H = A - B bước 2:Biến đổi H=(C+D)hoặc H=(C+D)+.+(E+F) bước 3:Kết luận A ³ BVí dụ:(chuyên Nga- Pháp 98-99) chứng minh "m,n,p,q ta đều sở hữu m+ n+ p+ q+1³ m(n+p+q+1) Giải: (luôn đúng)Dấu bằng xảy ra khi cách thức 2 : sử dụng phép biến đổi tương đươngLưu ý: Ta thay đổi bất đẳng thức cần chứng tỏ tương đương với bất đẳng thức đúng hoặc bất đẳng thức sẽ được minh chứng là đúng. Chú ý các hằng đẳng thức sau: lấy ví dụ 1: cho a, b, c, d,e là những số thực chứng minh rằng a) b) c) Giải: a) (bất đẳng thức này luôn đúng) Vậy (dấu bằng xẩy ra khi 2a=b) b) Bất đẳng thức cuối đúng. Vậy vệt bằng xẩy ra khi a=b=1 c) Bất đẳng thức đúng vậy ta tất cả điều yêu cầu chứng minhVí dụ 2: chứng tỏ rằng: Giải: a2b2(a2-b2)(a6-b6) 0 a2b2(a2-b2)2(a4+ a2b2+b4) 0Bất đẳng thứccuối đúng vậy ta gồm điều phải chứng tỏ Ví dụ 3: mang lại x.y =1 và x.y chứng tỏ Giải: vị :xy đề xuất x- y 0 x2+y2 ( x-y) x2+y2- x+y 0 x2+y2+2- x+y -2 0 x2+y2+()2- x+y -2xy 0 vì x.y=1 bắt buộc 2.x.y=2(x-y-)2 0 Điều này luôn luôn đúng . Vậy ta bao gồm điều yêu cầu chứng minhVí dụ 4: 1)CM: P(x,y)= 2)CM: (gợi ý :bình phương 2 vế) 3)choba số thực khác không x, y, z thỏa mãn: chứng minh rằng :có đúng một trong những ba số x,y,z lớn hơn 1 (đề thi Lam sơn 96-97) Giải: Xét (x-1)(y-1)(z-1)=xyz+(xy+yz+zx)+x+y+z-1 =(xyz-1)+(x+y+z)-xyz()=x+y+z - ( (vì1 x.y.z>1 mâu thuẫn gt x.y.z=1 nên phải xảy ra trường hòa hợp trên có nghĩa là có đúng một trong những ba số x ,y ,z là số to hơn 1Phư ơng pháp 3: cần sử dụng bất đẳng thức thân quen thuộcA/ một trong những bất đẳng thức hay dùng 1) các bất đẳng thức phụ: a) b) dấu( = ) khi x = y = 0 c) d) 2)Bất đẳng thức Cô sy: với 3)Bất đẳng thức Bunhiacopski 4) Bất đẳng thức Trê- bư-sép: trường hợp Nếu vệt bằng xảy ra khib/ các ví dụ lấy ví dụ 1 mang đến a, b ,c là những số không âm chứng tỏ rằng (a+b)(b+c)(c+a)8abcGiải: phương pháp 1:Dùng bất đẳng thức phụ: Tacó ; ; (a+b)(b+c)(c+a)8abc vết “=” xảy ra khi a = b = cví dụ 2(tự giải): 1)Cho a,b,c>0 và a+b+c=1 CMR: (403-1001) 2)Cho x,y,z>0 và x+y+z=1 CMR:x+2y+z 3)Cho a>0 , b>0, c>0 CMR: 4)Cho x,y thỏa mãn ;CMR: x+y lấy một ví dụ 3: mang đến a>b>c>0 và chứng minh rằng Giải: vày a,b,c đối xứng ,giả sử abc vận dụng BĐT Trê- bư-sép ta tất cả == Vậy vết bằng xẩy ra khi a=b=c= ví dụ 4: mang lại a,b,c,d>0 cùng abcd =1 .Chứng minh rằng :Giải:Ta gồm Do abcd =1 phải cd = (dùng ) Ta có (1) mặt khác: =(ab+cd)+(ac+bd)+(bc+ad) = Vậy lấy ví dụ như 5: mang lại 4 số a,b,c,d bất kỳ chứng minh rằng: Giải: sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski tacó ac+bd nhưng mà ví dụ 6: chứng tỏ rằng Giải: sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski giải pháp 1: Xét cặp số (1,1,1) và (a,b,c) ta bao gồm 3 Điều phải chứng minh Dấu bằng xảy ra khi a=b=cPh ương pháp 4: Sử dụng đặc thù bắc cầuL ưu ý: A>B và b>c thì A>c 00 thỏa mãn nhu cầu a> c+d , b>c+d minh chứng rằng ab >ad+bc Giải: Tacó (a-c)(b-d) > cd ab-ad-bc+cd >cd ab> ad+bc (điều buộc phải chứng minh)ví dụ 2: đến a,b,c>0 thỏa mãn minh chứng Giải: Ta bao gồm :( a+b- c)2= a2+b2+c2+2( ab –ac – bc) 0 ac+bc-ab ( a2+b2+c2) ac+bc-ab 1 phân chia hai vế đến abc > 0 ta bao gồm ví dụ 3 cho 0 1-a-b-c-d Giải: Ta tất cả (1-a).(1-b) = 1-a-b+ab bởi vì a>0 , b>0 đề nghị ab>0 (1-a).(1-b) > 1-a-b (1) vày c 0 ta có (1-a).(1-b) ( 1-c) > 1-a-b-c (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > (1-a-b-c) (1-d)=1-a-b-c-d+ad+bd+cd (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > 1-a-b-c-d(Điều phải chứng minh)ví dụ 41- mang đến 0 0 1+ > + b nhưng 0 , > từ (1) với (2) 1+> + Vậy + 0 thì tự ` lấy ví dụ 1 : mang đến a,b,c,d > 0 .Chứng minh rằng Giải : Theo đặc điểm của tỉ trọng thức ta gồm (1) ngoài ra : (2) từ bỏ (1) cùng (2) ta gồm 1 chứng tỏ rằng Giải: Ta có với k = 1,2,3,,n-1 vì chưng đó: ví dụ 2 : chứng minh rằng: với n là số nguyên Giải :Ta bao gồm Khi cho k chạy từ một đến n ta có 1 > 2 cộng từng vế những bất đẳng thức trên ta tất cả Ví dụ 3 : chứng minh rằng Giải: Ta gồm Cho k chạy từ bỏ 2 mang lại n ta bao gồm Vậy Ph ương pháp 7: sử dụng bất đẳng thức trong tam giácLưu ý: giả dụ a;b;clà số đo ba cạnh của tam giác thì : a;b;c> 0 với |b-c| (a+b-c).(b+c-a).(c+a-b) Giảia)Vì a,b,c là số đo 3 cạnh của một tam giác cần ta tất cả ị cộng từng vế các bất đẳng thức bên trên ta có a2+b2+c2 ờb-c ù ị > 0 b > ờa-c ùị > 0 c > ờa-b ùị Nhân vế các bất đẳng thức ta đượcVí dụ2: (404 – 1001) 1) cho a,b,c là chiều dài tía cạnh của tam giác minh chứng rằng 2) cho a,b,c là chiều dài bố cạnh của tam giác bao gồm chu vi bởi 2 chứng minh rằng Ph ương pháp 8: đổi biến chuyển sốVí dụ1: mang lại a,b,c > 0 chứng tỏ rằng (1)Giải :Đặt x=b+c ; y=c+a ;z= a+b ta có a= ; b = ; c =ta có (1) ( Bất đẳng thức sau cuối đúng vị ( ; bắt buộc ta bao gồm điều phải chứng minh Ví dụ2: mang lại a,b,c > 0 với a+b+c 0 , b > 0 , c > 0 CMR: 2)Tổng quát mắng m, n, p, q, a, b >0 CMR Ph ương pháp 9: sử dụng tam thức bậc haiLưu ý : mang đến tam thức bậc hai ví như thì trường hợp thì nếu như thì cùng với hoặc () cùng với Ví dụ1: minh chứng rằng (1) Giải: Ta tất cả (1) Vậy với đa số x, yVí dụ2: minh chứng rằngGiải: Bất đẳng thức cần chứng tỏ tương đương cùng với Ta bao gồm Vì a = vậy (đpcm) Ph ương pháp 10: dùng quy nạp toán họcKiến thức: Để chứng tỏ bất đẳng thức đúng với ta thực hiện quá trình sau : 1 – đánh giá bất đẳng thức đúng với 2 - đưa sử BĐT đúng cùng với n =k (thay n =k vào BĐT cần minh chứng được gọi là giả thiết quy nạp ) 3- Ta chứng tỏ bất đẳng thức đúng cùng với n = k +1 (thay n = k+1vào BĐT cần chứng tỏ rồi biến hóa để dùng giả thiết quy nạp) 4 – tóm lại BĐT đúng với đa số Ví dụ1: minh chứng rằng (1) Giải : với n =2 ta gồm (đúng) Vậy BĐT (1) đúng với n =2 trả sử BĐT (1) đúng với n =k ta phải chứng tỏ BĐT (1) đúng với n = k+1 thật vậy lúc n =k+1 thì (1) Theo giả thiết quy nạp k2+2k 0 minh chứng rằng (1)GiảiTa thấy BĐT (1) đúng cùng với n=1Giả sử BĐT (1) đúng với n=k ta phải minh chứng BĐT đúng với n=k+1Thật vậy cùng với n = k+1 ta tất cả (1) (2) Vế trái (2) (3) Ta chứng tỏ (3) (+) mang sử a b cùng giả thiết đến a -b a (+) giả sử a 0 , ab+bc+ac > 0 , abc > 0 chứng tỏ rằng a > 0 , b > 0 , c > 0 Giải : giả sử a 0 thì tự abc > 0 a 0 cho nên vì thế a 0 với a 0 a(b+c) > -bc > 0 bởi vì a 0 b + c 0 tựa như ta tất cả b > 0 , c > 0 ví dụ như 2: mang lại 4 số a , b , c ,d vừa lòng điều kiện ac 2.(b+d) .Chứng minh rằng có ít nhất một trong những bất đẳng thức sau là sai: , Giải : đưa sử 2 bất đẳng thức : , đều đúng khi đó cộng những vế ta được (1) Theo giả thiết ta có 4(b+d) 2ac (2) từ (1) với (2) tốt (vô lý) Vậy trong 2 bất đẳng thức với có ít nhất một những bất đẳng thức saiVí dụ 3: mang đến x,y,z > 0 và xyz = 1. Chứng minh rằng giả dụ x+y+z > thì có một trong ba số này lớn hơn 1 Giải : Ta gồm (x-1).(y-1).(z-1) =xyz – xy- yz + x + y+ z –1 =x + y + z – () do xyz = 1 theo giả thiết x+y +z > phải (x-1).(y-1).(z-1) > 0 Trong cha số x-1 , y-1 , z-1 chỉ có một trong những dương thiệt vậy nếu cả tía số dương thì x,y,z > 1 xyz > 1 (trái mang thiết) Còn nếu như 2 trong 3 số đó dương thì (x-1).(y-1).(z-1) ab+bc+acGiảiTa tất cả hiệu: b2+c2- ab- bc – ac = b2+c2- ab- bc – ac = ( b2+c2- ab– ac+ 2bc) +3bc =(-b- c)2 + =(-b- c)2 +>0 (vì abc=1 cùng a3 > 36 buộc phải a >0 )Vậy : b2+c2> ab+bc+ac Điều nên chứng minh2) chứng minh rằng a) b) với đa số số thực a , b, c ta có c) Giải : a) Xét hiệu H = = H0 ta tất cả điều phải chứng minh b) Vế trái rất có thể viết H = H > 0 ta bao gồm điều phải chứng tỏ c) vế trái rất có thể viết H = H 0 ta có điều phải chứng minhIi / Dùng biến hóa tương đương 1) mang đến x > y với xy =1 .Chứng minh rằng Giải : Ta có (vì xy = 1) vì thế BĐT cần minh chứng tương đương cùng với BĐT cuối đúng yêu cầu ta bao gồm điều buộc phải chứng minh2) cho xy 1 .Chứng minh rằng Giải : Ta bao gồm BĐT cuối này đúng vì xy > 1 .Vậy ta gồm điều đề nghị chứng minhIii / dùng bất đẳng thức phụ 1) mang lại a , b, c là các số thực cùng a + b +c =1 minh chứng rằng Giải : áp dụng BĐT BunhiaCôpski cho 3 số (1,1,1) với (a,b,c) Ta tất cả (vì a+b+c =1 ) (đpcm) 2) mang lại a,b,c là những số dương chứng minh rằng (1) Giải : (1) áp dụng BĐT phụ với x,y > 0 Ta bao gồm BĐT sau cùng luôn đúng Vậy (đpcm)Iv / dùng phương pháp bắc cầu 1) cho 0 0 .Chứng minh rằng : Giải : vì chưng a ,b ,c ,d > 0 buộc phải ta tất cả (1) (2) (3) Cộng những vế của 4 bất đẳng thức bên trên ta bao gồm : (đpcm) 2) mang đến a ,b,c là số đo bố cạnh tam giác chứng minh rằng Giải : vày a ,b ,c là số đo bố cạnh của tam giác yêu cầu ta có a,b,c > 0 cùng a 0 và x+y+z =1 Giải : vày x,y,z > 0 ,áp dụng BĐT Côsi ta gồm x+ y + z vận dụng bất đẳng thức Côsi mang đến x+y ; y+z ; x+z ta tất cả Dấu bằng xảy ra khi x=y=z= Vậy S Vậy S có giá trị lớn số 1 là khi x=y=z= lấy một ví dụ 3 : mang lại xy+yz+zx = 1 Tìm giá bán trị nhỏ nhất của Giải : áp dụng BĐT Bunhiacốpski mang đến 6 số (x,y,z) ;(x,y,z) Ta tất cả (1) Ap dụng BĐT Bunhiacốpski mang đến () với (1,1,1) Ta tất cả Từ (1) và (2) Vậy có mức giá trị nhỏ nhất là lúc x=y=z= lấy ví dụ 4 : trong tam giác vuông tất cả cùng cạnh huyền , tam giác vuông như thế nào có diện tích s lớn độc nhất Giải : điện thoại tư vấn cạnh huyền của tam giác là 2a Đường cao trực thuộc cạnh huyền là h Hình chiếu các cạnh góc vuông lên cạnh huyền là x,y Ta tất cả S = bởi a ko đổi nhưng mà x+y = 2a Vậy S lớn nhất khi x.y lớn nhất Vậy trong những tam giác gồm cùng cạnh huyền thì tam giác vuông cân nặng có diện tích s lớn tốt nhất Ii/ cần sử dụng b.đ.t để giải phương trình cùng hệ phương trình lấy ví dụ 1 : Giải phương trình sau Giải : Ta bao gồm Vậy vệt ( = ) xảy ra khi x+1 = 0 x = -1 Vậy lúc x = -1 Vậy phương trình bao gồm nghiệm tuyệt nhất x = -1 ví dụ như 2 : Giải phương trình Giải : vận dụng BĐT BunhiaCốpski ta bao gồm : lốt (=) xảy ra khi x = 1 mặt khác lốt (=) xảy ra khi y = - Vậy lúc x =1 cùng y =- Vậy nghiệm của phương trình là ví dụ như 3 : Giải hệ phương trình sau: Giải : vận dụng BĐT Côsi ta bao gồm Vì x+y+z = 1) buộc phải Dấu (=) xẩy ra khi x = y = z = Vậy gồm nghiệm x = y = z = ví dụ như 4 : Giải hệ phương trình sau từ bỏ phương trình (1) xuất xắc Từ phương trình (2) ví như x = thì y = 2 nếu x = - thì y = -2 Vậy hệ phương trình gồm nghiệm và Iii/ sử dụng B.Đ.t để giải phương trình nghiệm nguyên 1) Tìm các số nguyên x,y,z vừa lòng Giải : vì chưng x,y,z là các số nguyên bắt buộc (*) Mà các số x,y,z cần tìm là ví dụ 2: tra cứu nghiệm nguyên dương của phương trình Giải : không mất tính tổng thể ta trả sử Ta gồm Mà z nguyên dương vậy z = 1Thay z = 1 vào phương trình ta được Theo mang sử xy cần 1 = cơ mà y nguyên dương đề nghị y = 1 hoặc y = 2 cùng với y = 1 không thích hợp với y = 2 ta gồm x = 2 Vậy (2 ,2,1) là một trong những nghiệm của phương trình Hoán vị những số bên trên ta được các nghiệm của phương trình là (2,2,1) ; (2,1,2) ; (1,2,2) lấy ví dụ 3 : Tìm các cặp số nguyên nhất trí phương trình (*) Giải : (*) cùng với x 0 , y > 0 Ta gồm Đặt (k nguyên dương do x nguyên dương ) Ta có Nhưng nhưng giữa k với k+1 là nhì số nguyên dương tiếp tục không tồn tại một số trong những nguyên dương nào cả Nên không tồn tại cặp số nguyên dương nào chấp thuận phương trình . Vậy phương trình có nghiệm tuyệt nhất là :
